Фрактална геометрия на Манделброт

от Администрация и управление
Направо към: навигация, търсене
Беноа Манделброт

Фракталната геометрия е формулирана от Беноа Манделброт. Тя е наука, основаваща се на фракталите, според която, случайни на пръв поглед форми фактически са сложни геометрични фигури, състоящи се от по-малки фигури точно повтарящи по-големите.

Същност

През 1977 г. Манделброт публикува труда си "Фракталната геометрия на природата", според който случайни на пръв поглед форми фактически са сложни геометрични фигури, състоящи се от по-малки фигури точно повтарящи по-големите.

Естествен природен фрактал - светкавица
Естествен природен фрактал - крайбрежна ивица

С помощта на откритието на Манделброт стана възможно изчисляването на предмети и явления, смятани преди това за неподдаващи се на измерване като облаците, бреговата линия, рисунъка на релефа на дадена местност. Теорията за фракталите има приложение във физиката, химията, астрономията и други области на знанието.

Фракталът е геометричен обект, който е радикално „начупен“. Терминът фрактал (от латинското fractus, счупен) е въведен през 1975 от Беноа Манделброт, за да привлече вниманието към тези обекти. В много отношения те се отличават от обикновените „гладки“ обекти в традиционната геометрия. Това е и съвсем лесно забележимо.

Най-често фракталът се генерира (например на компютърен екран) от повтаряща се схема, обикновено рекурсивен или итеративен процес. Това му придава множество интересни характеристики, най-важните от които са самоподобността и безкрайната подробност независимо от увеличението. Фракталите обединяват структура и неправилност.

Различни видове фрактали са първоначално изучавани като математически обекти и терминът „фрактал“ е получил различни точни дефиниции. Фракталната геометрия е клон от математиката, който изучава фракталите и особеното им поведение. Тя намира приложение в науката, техниката и компютърното изкуство.

Корените на теорията за фракталите могат да се проследят до опитите за измерване на периметъра (или площта, или обема) на фрактали в случаи в които традиционният анализ е неприложим. Традиционните математически методи „се приближават“, с цел да опростят локалната картина. Съществуването на фракталите показва неприложимостта на този подход при появата не неограничено количество все по-дребни подробности.

Приложение

Начинът на измерване на крайбрежието на Британия.

Опитайте се да измерите с конец дължината на бреговата линия на Англия на атласа. След това направете същото с морска карта. Интересното е, че вторият път ще излезе доста повече. Ако после отидете в Англия и измерите бреговата й линия с дърводелски метър, тази дължина ще бъде още по-голяма. Продължавайте този процес дотогава, докато в ръцете ви не се се окаже чертожна линийка, с която можете да измерите бреговата линия частичка по частичка, атом след атом. Манделброт често използвал този пример твърдейки, че бреговата линия на Англия има безкрайна дължина.

Смисълът на този непрактичен експеримент се състои в това, че разстоянията трябва да бъдат съизмерими по мащаб, положение и детайли. По-късно Манделброт определил, че фракталната размерност на бреговата линии на Англия е 1.25.

В 300 г. до н. е. Евклид започнал Книга I с няколко определения, които били:

  • Точка е това, което няма части.
  • Линията е дължина без ширина.
  • Повърхност е това, което има само дължина и ширина.

В Книга XI, той добавил:

  • Обемна фигура е това, което има дължина, ширина и височина.

Понятието размерност се подчертава в тези определения. Всеки знае, че точката има 0 размера, линията има размерност 1, квадратът е двумерен, а кубът - тримерен. Тази размерност се нарича топологична. Тя се е използвала в течение на хилядолетия, но се оказва неточна при изучаването на фракталите.

Една от идеите, възникнала от фракталната геометрия била идеята за нецелите значения за броя на измеренията в пространството. Манделброт нарекъл нецелите измерения такива като 2.76 фрактални измерения.

Вижте още

Източници

  • Mathematical pioneer: Benoit Mandelbrot
  • Benoit B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature
  • Mandelbrot, "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension", 1967
  • Yurij Baryshev, Pekka Teerikorpi, Benoit B. Mandelbrot, Discovery of Cosmic Fractals

Външни препратки