Фрактал

от Администрация и управление
Направо към: навигация, търсене
Естествен природен фрактал - снежинка

Фракталът е обект с доста сложна форма, получен в резултат на прост итерационен цикъл. Итерационността и рекурсивността определят такива свойства на фракталите, както самоподобие - отделните части приличат на целия фрактал.

Същност

Фракталите са геометрични обекти с дробна размерност. Например, размерността на линия е 1, на площта – 2, на обема – 3. При фрактала това значение на размерността може да бъде между 1 и 2 или между 2 и 3. В математиката съществува специална сложна формула за изчисление размерността на фракталите.

Корените на теорията за фракталите могат да се проследят до опитите за измерване на периметъра (или площта, или обема) на фрактали в случаи, в които традиционният анализ е неприложим. Традиционните математически методи „се приближават“, с цел да опростят локалната картина. Съществуването на фракталите показва неприложимостта на този подход при появата не неограничено количество все по-дребни подробности.

Разклонената система от тръбички на трахеите, листата на дърветата, вените на ръцете, реките - това са фрактали. Както е казано по-горе, фракталът е геометрична фигура, определена част от която се повторя отново и отново, изменяйки се по размери. Фракталите са подобни сами на себе си, те са подобни сами на себе си на всички нива (т.е. във всеки мащаб). Съществуват много различни типове фрактали. По принцип, може да се каже, че всичко, което съществува в реалния свят е фрактал, било то облак или молекула кислород.

История

Беноа Манделброт – Френски математик 20.11.1924-14.10.2010

Фракталите са били обект на внимание на учените, много преди да бъдат наречени с тази дума. През 1872 Карл Вайерщрас открива пример за функция с неинтутивното свойство да е непрекъсната навсякъде без да е диференцируема никъде (Функция на Вайерщрас). В наши дни графиката на тази функция би била наречена фрактал. През 1904 Хелге фон Кох доразвива тази теория с подобна функция, която се нарича снежинка на Кох. През 1938 Пол Пиер Леви публикува Равнинни или пространствени криви и повърхнини, състоящи се от части, подобни на цялото, където описва две фрактални криви – С-крива на Леви и драконова крива на Леви.

Снежинката на Кох е резултат от безкрайно добавяне на триъгълници към периметъра на началния триъгълник. След всяко добавяне (итерация), периметърът нараства — той расте до безкрайност, въпреки че затворената площ остава крайна.

Примери за фрактали дава и Георг Кантор. Канторови множества или Прах на Кантор представляват подмножества на реалната права с необичайни свойства. Математиците Константин Каратеодори и Феликс Хаусдорф опитват да разберат обекти, подобни на канторовите множества и така обобщават интутивната идея за рамерност като включват и не цели стойности.

В края на 19 и началото на 20 век Анри Поанкаре, Феликс Клайн, Пиер Фату и Гастон Жюлиа изследват итеративни функции в комплексната равнина. Без помощта на съвременната компютърна графика, обаче, те не са имали възможността да визулизират откритите от тях обекти. През 60-те години на 20 век Беноа Манделброт изследва самоподобността в публикациите Колко дълго е крайбрежието на Британия? Статистическа самоподобност и дробна размерност. Чрез силно визуален подход, Манделброт установява връзки между клонове на математиката, несвързани дотогава. През 1975 той въвежда понятието фрактал, за да опише самоподобните обекти, които нямат ясна размерност. А през 1977 публикува Фрактална геометрия на природата. Той използвал научните резултати на други учени, работещи в периода 1875-1925 г. в тази област (Поанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф, Пеано).В книгата, която произвела истински фурор, Манделброт обединава техните работи в единна система.

Прилагането на компютърна визуализация към фракталната геометрия дава силен визуален аргумент за връзките на фракталната геометрия с далеч по-широки области на математиката и науката, отколкото се е смятало преди това. Тази практика навлиза в нелинейната динамика, теорията на хаоса и комплексните системи. Метода на Нютон изобразен като фрактал(нютонов фрактал) показва как границите между различните решения са фрактали, а самите решения са странни атрактори. Фракталната геометрия се използва и при компресиране на данни и моделиране на сложни органични и геоложки системи.

Вижте още

Източници

  • Lenny Smith - Chaos: A Very Short Introduction (Very Short Introductions)
  • Uri Merry - Coping with Uncertainty: Insights from the New Sciences of Chaos, Self-Organization, and Complexity
  • Stephen H. Kellert - In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems (Science and Its Conceptual Foundations series)
  • Heinz-Otto Peitgen - Chaos and Fractals: New Frontiers of Science
  • Stephen H. Kellert - Borrowed Knowledge: Chaos Theory and the Challenge of Learning across Disciplines
  • Benoit B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature
  • Mandelbrot, "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension", 1967
  • Yurij Baryshev, Pekka Teerikorpi, Benoit B. Mandelbrot, Discovery of Cosmic Fractals

Външни препратки