Точкови оценки на параметри при бейсовия подход

от Администрация и управление
Направо към: навигация, търсене
Thomas Bayes.
Томас Бейс

Макар че апостериорната плътност обобщава всичката информация за интересуващите ни параметри (извадъчна и извънекспериментална), с която разполагаме, често пъти е необходимо да можем да характеризираме неизвестните параметри с конкретни стойности, т.е. да получим точкови оценки за тези параметри.

Същност

При наличието на апостериорната плътност като източник на информация за параметъра θ, за точковата оценка

ˆθ = ˆθ(x)

е най-подходящо да бъде получена в контекста на теорията за вземане на решения. Съгласно принципите на тази теория изследователят трябва да има ''функция на загубите, L(θ, ˆθ), която да отразява колко „вредни” са отклоненията на оценката ˆθ от истинската стойност θ. Тъй като в нашия случай θ се разглежда като случайна величина, съответно L(θ, ˆθ) е също случайна, макар че наблюденията x са фиксирани. Понеже апостериорната плътност отразява всичката налична информация за възможните изходи на θ, логично е да претеглим стойностите на функцията на загубите с апостериорната плътност, за да получим очакваната загуба при използването на конкретна точкова оценка ˆθ. При това положение оптималната точкова оценка е онази, която минимизира математическото очакване на функцията на загубите:

Очакването на функцията на загубите се нарича риск или функция на риска. Тук

имплицитно се предполага, че очакването е крайно и че минимумът съществува.

Като пример за типа точкова оценка, която се получава при използване на конкретна функция на загубите, нека разгледаме квадратична функция на загубите

L(θ, θ)=(θ − ˆ θ) C(θ − ˆ θ),

където C е зададена положително определена симетрична матрица. Тогава апостериорното очакване на

L(θ, ˆθ) ще бъде E[L(θ,ˆθ)] =E[(θ −ˆθ) C(θ −ˆθ)]=E[((θ − E[θ]) − (ˆθ− E[θ])) C((θ − E[θ]) − (ˆθ− E[θ]))]=E[(θ − E[θ]) C(θ − E[θ])] + (ˆθ− E[θ]) C(ˆθ− E[θ]),

където в последното равенство вторият член от сумата е нестохастичен и излиза извън очакването. Същевременно именно вторият член зависи от ˆθ и съответно минимумът на формулата зависи само него. Ясно е, че за положително определена C минимум се достига при

ˆθ∗ = E[θ].

Тоест за квадратична функция на загубите оптималната точкова оценка се дава от математическото очакване на апостериорното разпределение.

Вижте още

Източници

  • Бергер, Джеймс O (1985). Статистически решение Теория и Bayesian анализ. Springer серия по статистика (втори изд.).
  • Бернардо Жозе М. ; Смит, Ейдриън Е. М. 1994 г. Bickel, Питър Дж. и Doksum, Kjell A. (2001 г.). Математическа статистика, том 1 Основни и избраните теми
  • Дейвидсън, Доналд ; Suppes, Патрик ; Сийгъл, Сидни 1957). (вземане на решения: експериментално подход
  • де Finetti, Бруно . "Probabilism: критично есе върху теория на вероятностите и върху стойността на науките" (превод от 1931 г. статия) в Erkenntnis, том 31 септември 1989 година.
  • де Finetti, Бруно (1937) "La предвиждане: ЕЕН Лоис logiques, SES източници subjectives" Annales де l'Institut Анри Поанкаре,
  • де Finetti, Бруно. "Форсайт: Logical си закони, му Субективните източници"
  • де Finetti, Бруно от. теория на вероятностите,
  • DeGroot, Морис (2004) Оптимално статистически решения. Wiley Classics Library.
  • Сух, Йън (декември 1967 г.). "малко по-реалистична Лични вероятностите" .
  • Сух, I (1988 г.) "малко по-реалистична Лични вероятностите". 1967 статия частично препечатани в: Gärdenfors, Петър и Салин, Нилс-Ерик. (1988 г.) решение, вероятностите, и полезни: Избрани четения.
  • Хайек, А. и Хартман, С. (2010): "Бейс епистемологията", в:, Данси J., Соса, Д., Steup, М. (ред.) (2001) спътник на епистемологията, Уайли.
  • Hald, Андерс (1998). История на Математическа статистика Хартман, С. и Sprenger, Дж. (2011 г.) "Бейс епистемологията", в: Bernecker, С. и Причард, Д. (ред.) (2011 г.) Routledge спътник на епистемологията.
  • Хаусън, В. ; Urbach, П. (2005). научните аргументи на Бейс подход
  • Jaynes ET (2003) Теория на вероятностите: Логиката на науката,
  • Моргенщерн, Оскар (1978). "Някои Из Utility ". В Андрю Schotter. Избрани икономически писането на Оскар Моргенщерн. Пиърс, CS и Jastrow J. (1885). " На малките разлики в Sensation " Pfanzagl, J (1967 г.). "Субективните вероятности Въз основа на Моргенщерн-фон Нойман Utility Theory"
  • Pfanzagl, в сътрудничество с Й. В. З. Бауман и Хубер (1968 г.). "Събитията, полезни и субективно на вероятностите". Теория на оценяване. Уайли
  • Рамзи, Франк Plumpton (1931) "Истина и вероятностите" ( PDF ), глава VII в основите на математиката и други есета Логически,
  • Stigler, Стивън М. (1990). "История на статистиката неопределеността на измерването преди 1900 година
  • Stigler, Стивън М. (1999) Статистически данни за маса: "История на статистически понятия и методи

Външни препратки