Теория на хаоса

от Администрация и управление
Направо към: навигация, търсене
 lorenc.
Едуард Лоренц, считан за баща на Теорията на хаоса

Теорията на хаоса е математически апарат, описващ поведението на някои нелинейни динамични системи, подложени при определени условия на явление, известно като хаос.

Същност

Теорията на хаоса гласи, че сложните системи зависими от първоначалните условия и неголемите изменения в обкръжаващата среда, водят до непредсказуеми последствия.

Поведението на такава система изглежда случайно, даже ако модела описващ системата е детерминиран.

Примери за такива системи са атмосферата, турболентните потоци, биологичните популации, обществото, като система на комуникации и неговите подсистеми: икономически, политически и други социални системи. Тяхното изучаване, обикновено се съпровожда от математическо моделиране.

Теорията на хаоса е област на изследване, свързваща математиката, физиката и философията. Математическите системи с хаотично поведение са детерминирани, но и се подчиняват на някои строги закони, затова се явяват и упорядъчни. Тази употреба на думата „хаос”, се отличава от обичайното значение ( хаосът в мифологията). Също така съществува област на физиката, като теорията на квантовия хаос, изучаваща недетерминираните системи, подчиняващи се на законите на квантовата механика.

Пионери в теорията се считат френския физик и философ Анри Поанкаре ( доказал теоремата за възвръщането), съветските математици А. Н. Арнолд, Мозер – построили теорията на хаоса, наречена КАМ ( теория Колмогоров-Арнолд-Мозер). Теорията въвежда понятието атракт.

Понятието хаос

В ежедневието думата „хаос”, означава „ състояние на беспорядък”. В теорията на хаоса, прилагателното хаотичен, е определено по точно. Дори да няма общоприето универсално математическо определение за хаоса, обикновено изполваното определение гласи, че динамична система, която се класифицира като хаотична, трябва да има следните свойства:

  • Трябва да е чувствителна към началните условия;
  • Трябва да има свойството на топологичното смесване;
  • Нейните периодични орбити трябва да бъдат плътни нявсякъде.

Линейните системи никога не са хаотични. За да стане една динамична система хаотична, тя трябва да е нелинейна. По теоремата на Поанкаре-Бендиксон, непрекъснатата динамична система на плоскостите, не може да бъде хаотична. Сред непрекъснатите системи на хаотичното поведение има само неплоски пространствени системи ( задължително наличие на най-малко три измерения и неевклидова геометрия). Дискретната динамична система на някои стадии може да прояви хаотично поведение даже в едномерно или двумерно пространство.

Чувствителност към началните условия

 topologichesko smesvane.
Пример на топологическо смесване, където x → 4 x (1 — x) и y → x + y, ако x + y <1 (иначе x + y — 1). Тук синия регион в процеса на развитие е бил преобразуван първоначално в лилав, после в розов и червен регион и накрая изглежда, като облак точки, разпръснати през пространството.

Чувствителност към началните условия в такава система означава, че всички точки, първоначално близко една до друга, след време имат значително различаващи се траектории. В този смисъл, произволно малко изменение на текущата траектория, може да доведе до значително изменение в нейното бъдещо поведение. Доказано е, че последните две свойства фактически подразбират чувствителност към първоначалните условия ( алтернативното, по- слабо определение за хаоса използва само първите две свойства от гореспоменатия списък).

Чувствителността към началните условия е по-известна, като „Ефекта на пепрудата”. Възникването на термина е свързано със статията „Предсказание: размахът на крилата на пеперудите в Бразилия, предизвиква торнадо в щата Тексас”, която Едуард Лоренц, през 1972, връчва на американската „Асоциация за предвижване на науките” във Вашингтон. Размахът на крилата на пеперудите символизира малките изменения в първоначалното състояние на системата, което предизвиква редица от събития, водещи до мащабни изменения. Ако пеперудата не маха с крила, то траекторията на системата ще бъде съвсем друга, което доказва определена линейност на системата. Но малките изменения в първоначалното състояние на системата, могат и да не предизвикат редица от събития.

Топологично смесване

Топологичното смесване в динамиката на хаоса означава такава схема на разширение на системата, че една от нейните области, в някой стадий на разширяване се нагажда на коя да е друга област.

Математическото понятие „смесване”, като пример за хаотична система, съответсва на смесването на разноцветни цветове или течности.

Тънкости в определението

В популярни разработки, чувствителността към първоначалните условия, често се бърка със самия хаос. Границата е много тънка, доколкото зависи от избора на показатели на измеренията и определенията за разтоянието с конкретния стадий на системата. Например, да разгледаме проста динамична система, която нееднократно удвоява първоначалното си значение. Такава система има чувствителна зависимост от първоначалните условия навсякъде, така както всеки две точки в първоначалния стадий, в последствие на случаен принцип, ще бъдат на значително разстояние една от друга. Но нейното поведение е тривиално, доколкото всички точки, освен нула, имат тенденция към безкрайност и това не е топологично смесване.

Даже за закрити системи, чувствителността към първоначалните условия не е идентична с хаоса, в смисала на изложеното по-горе.

Вижте още

Източници

  • Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.
  • Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. 3-е изд. М.: УРСС, 2001.
  • Милева, В. "Теория на хаоса и катастрофите", Бръсначът на Окам, 2012, [1]

Външни препратки