Теория на вероятностите

от Администрация и управление
Направо към: навигация, търсене

Теорията на вероятностите се занимава с изследване на закономерностите при случайните събития.

Същност

Всяко явление протича при известни условия. Обратно, при определени условия протича някакво явление, но ние не сме в състояние да опишем всички условия, при които протича дадено явление. Ние определяме само някои условия за протичането на дадено явление, което ще наричаме събитие. При реализирането на тези условия даденото събитие може да се сбъдне, а може и да не се сбъдне. Такова събитие, което при даден комплекс от условия може да се сбъдне, а може и да не се сбъдне, наричаме случайно.

Основни понятия на теория на вероятностите - Най-често се използва понятието опит (експеримент). Опитът се състои в осъществяване на определен комплекс от условия, в резултат на което се случва нещо, което не може да бъде предсказано предварително със сигурност. При многократното повторение на опита могат да бъдат получени различни резултати (изходи), които се представят като поява на определено събитие. Събитията се разграничават по видове, в съответствие с особеностите на тяхното проявление.

Когато експериментът е проведен n пъти и събитие А се е появило m пъти, отношението

Teoriqnaveroqtnostite1.jpg


показва какъв дял от общия брой случаи се пада на събитие А. Тази величина се нарича относителна честота или честост, а числото m - честота. Най-често относителната честота се записва с

Teoriqnaveroqtnostite2.jpg


Относителната честота има следните свойства:

1) 0W(A)1, т.е. тя е неотрицателна величина.

2) Ако събитие К е достоверно (сигурно) събитие, W(K) = 1, т.е относителната честота на достоверно събитие, в случая събитие К, е равна на единица. Важи и обратното, че ако дадено събитие има относителна честота равна на единица, то е достоверно събитие.

3) За редицата от събития A1, А2, ... , Ak

Teoriqnaveroqtnostite3.jpg


За събитията А и В с честоти m(А) и m(В) и честости W(A) и W(В) важи

Teoriqnaveroqtnostite4.jpg


Относителната честота е характеристика, която се получава след като е проведен експеримент или са извършени съответни наблюдения. В редица случаи са необходими характеристики за настъпването на разглежданите събития, които се получават преди да е извършен експеримент и описват техните честотни закономерности. Такива характеристики се наричат вероятности. Ако се разглежда събитие А, принадлежащо на множеството F (А F), вероятностната мера за събитие А се бележи с Р(А).

За вероятностите важи следното:

  1. ) За всяко събитие А F 0 Р(А) 1.
  1. ) Вероятността за поява на достоверно събитие е равна на единица, т.е. Р() = 1.
  1. ) Вероятността на сума от множество две по две несъвместими събития Aj F, j = 1,2, ... , е равна на сумата от техните вероятности

Teoriqnaveroqtnostite5.jpg


Вероятността за противоположното събитие (A) е

Teoriqnaveroqtnostite6.jpg


като Р(А) + Р(A) = 1.

Съвкупността от множеството , определеното на него множество F и вероятностната мера Р(А) за поява на събитие А, принадлежащо на F, образува вероятностно пространство и е част от математическия модел на експеримента. За определяне на вероятностите се използват т.нар. класически (лапласов) метод, статистически метод и метод на експертните оценки (субективните вероятности).

Вижте още

Източници

  • Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability.
  • Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability.
  • Patrick Billingsley (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons.
  • Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp.
  • Henk Tijms (2004). Understanding Probability. Cambridge Univ. Press.
  • Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp.
  • Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag.
  • ET. Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science Cambridge University Press, (2003).
  • Stephen M. Stigler (1986) The history of statistics. Harvard University press
  • Richard T. Cox, Algebra of Probable Inference, The Johns Hopkins University Press
  • Bishop, CM., Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, 2007
  • Stephen M. Stigler (1986) The history of statistics. Harvard University press
  • Wolpert, RL. (2004) A conversation with James O. Berger, Statistical science
  • Berger, James O (1985). Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Springer Series in Statistics (Second ed.). Springer-Verlag
  • de Finetti, Bruno. "Probabilism: A Critical Essay on the Theory of Probability and on the Value of Science," (translation of 1931 article) in Erkenntnis, volume 31, September 1989
  • Hacking, I (1988) "Slightly More Realistic Personal Probability". 1967 article partly reprinted in: Gärdenfors, Peter and Sahlin, Nils-Eric. (1988) Decision, Probability, and Utility: Selected Readings. 1988. Cambridge University Press
  • Jaynes E.T. (2003) Probability Theory: The Logic of Science, CUP
  • Morgenstern, Oskar (1978). "Some Reflections on Utility". In Andrew Schotter. Selected Economic Writings of Oskar Morgenstern. New York University Press
  • Pfanzagl, J (1967). "Subjective Probability Derived from the Morgenstern-von Neumann Utility Theory". In Martin Shubik. Essays in Mathematical Economics In Honor of Oskar Morgenstern. Princeton University Press

Външни препратки