Игра с нулева сума

от Администрация и управление
Направо към: навигация, търсене

При игрите с нулева сума с двама участници печалбата на единия играч е числено равна на загубата на другия играч, т.е. налице е антагонистичен конфликт между тях.

Същност

Антагонистичните игри са подклас на безкоалиционните игри, т.е. една антагонистична игра се задава със системата (X ,Y ,H), където x- множеството от стратегиите на първия играч;y- множеството от стратегиите на втория играч; h- печалбата на първия играч; Антагонистични игри, в които всеки играч има крайно множество стратегии се наричат матрични игри. Безкрайните антагонистични игри се различават от матричните по това, че поне един от играчите разполага с безкраен брой стратегии. При игрите с нулева сума играчите могат да печелят или губят едновременно и затова в много случаи за тях е много по-изгодно да действат съвместно. Игрите с нулева сума се решават по-сложно. По принцип играта с ненулева сума може да се сведе ди изкуствена игра с нулева сума чрез въвеждането на фиктивен играч, който получава печалба в размер, равен на разликата между общата сума на печалбата и сумата на печалбите от различните играчи. В този случай се увеличава броя на играчите с 1, но допълнителният не е равностоен на останалите, в резултат, на което полученият приход не е безусловен изход от конфликтна ситуация. Крайна игра с двама играчи с ненулева сума се нарича био-метрична игра, т.е. Г(X ,Y , H 1 , H 2 );

  • Според фактора време:
    • статични игри;
    • динамични игри.
  • Според броя на коалициите на действието
    • стратегически;
    • не стратегически.
    • според формата на задаване
    • игри в разгърната форма;
    • игри в нормална форма.

Структура

Определение: системата Г(X ,Y ,H ) където x,y-непразни множества, H=H(x,y)-функция на две променливи, наричаме антагонистична игра. Определение: ако множеството х и у са крайни то играта Г(X ,Y ,H) наричаме крайна антагонистична игра. Множеството х и у множества на стратегиите. Елементите хε Х наричаме стратегии( чисти стратегии) на първия играч, елементите у ε У чисти стратегии на втория играч, функцията H=H(x,y) платежна функция( функция на печалбата) на първия играч, а двойката (х,у)- ситуация в чисти стратегии. Функцията H(x,y)наричаме платежна функция.

  • Максиминни и минимаксни стратегии

Нека първия играч избира стратегията Igrasnulevasuma1.png, то играч две изибира такава страегия , y ε Y при която печалбата на първия играч ще бъде най-малкото от числата Igrasnulevasuma2.png , т.е. Igrasnulevasuma3.png.

Ето защо, първия играч ще избере своята стратегия Igrasnulevasuma4.png така, че тази минимална печалба да бъде най-голяма, т.е. равна на Igrasnulevasuma5.png. Величината Igrasnulevasuma6.png наричаме долна граница на играта Igrasnulevasuma7.png.

Стратегията Igrasnulevasuma4.png на първия играч наричаме максиминна чиста стратегия. Принципа, който следва първия играч наричаме принцип на максиминна. Аналогично стратегията Igrasnulevasuma8.png се нарича минимаксна стратегия на втория играч. Величината Igrasnulevasuma9.pngнаричаме горна цена на играта Igrasnulevasuma10.png. Принципа, който следва втория играч се нарича принцип на минимакса.

  • Равновесни ситуации

Нека приемем за оптимална ситуацията в играта Г=(X ,Y ,H), такава ситуация Igrasnulevasuma11.png, от което следва нито един от играчите няма интерес да се отклони. Такава ситуация Igrasnulevasuma12.png се нарича равновесна (седлова точка ), а принципа на оптималност, основан на построяването на равновесната ситуация принцип на равновесието.

Определение: в антагонистична игра Г=(X ,Y ,H) ситуацията нарича равновесна или седлова ако: Igrasnulevasuma13.png

Igrasnulevasuma12.png се Igrasnulevasuma14.png

Определение: случайна величина, стойностите на която са стратегиите на играчите, наричаме смесени стратегии. Спектър на смесената стратегия на даден играч в крайна антагонистична (матрична) игра, наричаме множеството от чистите му стратегии, които той използва с положителна вероятност. Двойката (p, q) от смесените стратегии на играчите в матричната игра Г се нарича ситуация в смесени стратегии.

Ситуацията Igrasnulevasuma16.pngе играта Igrasnulevasuma17.png Igrasnulevasuma18.png е цена на играта, ако за всяко Igrasnulevasuma19.pngе равновесна (седлова точка), а числото е изпълнено:

Igrasnulevasuma20.png

Всяка матрична игра има равновесна ситуация (седлова точка) в смесени стратегии. Тройката Igrasnulevasuma21.png наричаме решение на матричната игра.

Вижте още

Източници

  • Manuel F. Ayau (Author) - Not a Zero Sum Game
  • Guy Sorman - Economics Does Not Lie: A Defense of the Free Market in a Time of Crisis
  • Philip D. Straffin - Game Theory and Strategy (Mathematical Association of America Textbooks) (Sep 5, 1996)
  • Avinash K. Dixit and Barry J. Nalebuff - The Art of Strategy: A Game Theorist's Guide to Success in Business and Life (Jan 4, 2010)
  • Joel Watson - Strategy: An Introduction to Game Theory, 2nd Edition (Oct 16, 2007)
  • Morton D. Davis - Game Theory: A Nontechnical Introduction (Jul 1, 1997)
  • Len Fisher - Rock, Paper, Scissors: Game Theory in Everyday Life (Nov 4, 2008)
  • Avinash K. Dixit and Barry J. Nalebuff - Thinking Strategically: The Competitive Edge in Business, Politics, and Everyday Life (Apr 17, 1993)
  • Adam Brandenburger and Barry J. Nalebuff - Right Game: Use Game Theory to Shape Strategy (Harvard Business Review Classics) (Oct 5, 2009)

Външни препратки