Закон за големите числа

от Администрация и управление
Направо към: навигация, търсене
Илюстрация на Закона за големите при хвърлянето на зарове. Тъй като броят на заровете увеличава хвърлянията, средната стойност на всички хвърляния е 3.5.

В теорията на вероятностите, законът за големите числа (на англ. Law of large numbers - LLN) е теорема, която описва резултата от извършването на същия експеримент голям брой пъти.

Същност

Според закона средната стойност на резултатите получени от голям брой опити трябва да бъде близка до очакваната стойност и ще са склонни да станат по близки, тъй като се извършват повече проучвания.

История

Дифузията е пример за закона за големите числа, прилаган в химията

Италианският математик Героламо Кардано (1501-1576) посочва, без доказателство, че точността на емпиричните статистически данни е склонна да се подобри с броя на опитите. Специалната форма на Закона за големите числа (за бинерни случайни променливи) пръв доказал Якоб Бернули. Повече от 20 години той разработва достатъчно строги математически доказателства, които са публикувани в "Изкуството на предполагането” през 1713 год. Той нарича това своята "Златна Теорема", но тя става известна като "теорема на Бернули”. Това не бива да се бърка с принципа в областта на физиката, който е със същото наименование, но носи името на племенника на Якоб Бернули – Даниел Бернули.

През 1835 г., С. Д. Пойсонс (на англ. S.D. Poisson) допълнително я описва под името " La loi des grands nombres " ("Законът на големите числа").

След като Бернули и Пойсонс публикуват своите усилия, други математици също допринасят за усъвършенстването на закона, включително Чебушев, Марков , Борел, Кантели и Колмогоров и Кинчин (който най-накрая предоставя пълни доказателства за закона за големите числа за произволни случайни величини ). Тези допълнителни изследвания водят до две известни форми на закона за големите числа. Едната е наречена "слаб" закон и другата"силен" закон. Тези форми не описват различни закони, но се отнасят до различни начини за описание на начина на сближаване на кумулативната проба към очакваната стойност и силната форма загатваща слабата.

Заровете

Зарове

Например, едно зарче със шест страни може да изведе едно от числата 1, 2, 3, 4, 5, 6, всяко с еднаква вероятност. Следователно очакваната стойност на единичния зар е: LLN1.png

Според закона за големите числа, ако голяма част от заровете са хвърлени, средните на техните стойности е вероятно да са близки до 3.5, като точността се увеличава, кагато повече зарове са хвърлени.

Ябълките

Ябълка

Друг пример може да бъде: Средното тегло на 10 ябълки взети от куп със 100 ябълки е вероятно по-близо до истинското средно тегло на 100-те ябълки отколкото средното тегло на 3 ябълки взети от същия куп. Това е така, защото мострата от 10 ябълки е по-голяма от мострата от 3 ябълки и по-добре представлява цялата група. По същия начин, ако се вземе средното тегло на 99 ябълки, то ще е почти същото като средното тегло на всичките сто ябълки.

От закона за големите числа следва, че емпиричната вероятност за успех, в поредица от опити на Бернули, ще се приближи до теоретичната вероятност. За случайната променлива на Бернули, очакваната стойност е теоретичната вероятност на успех и средната n стойност като променлива (въпреки, че са независими и тъждествено разпределени, на англ. i.i.d.) е именно относителната честота.

Монетите

Стара българска златна монета от времето на Фердинанд I

Например, опитът на Бернули с подхвърлянето на една честна монета (на англ. fair coin). Когато честната монета се хвърли веднъж, теоретичната вероятност тя да бъде с лице нагоре равнява на 1/2. Поради това, в съответствие със закона за големите числа пропорцията монетата да е с лице нагоре при хвърлянето на голям брой монети "трябва да бъде" приблизително 1/2. По специално, делът на пропорцията след обръщане на n почти със сигурност ще бъде 1/2 когато n клони към безкрайност.

Това е вероятността, при която абсолютната разлика е малко число, приближаващо се до нула, когато броят на хвърлянията се увеличава. Също така почти със сигурност съотношението на абсолютната разлика на броя на хвърлянията се приближава до нула.

Закона за големите числа е важен, защото „гарантира” стабилни резултати за случайни събития в дългосрочен план. Например докато в казино можеш да загубиш пари с едно завъртане колелото на рулетката твоята печалба ще е склонна към предвидим процент вурху голям брой завъртания. Всяка печеливша серия от играч в крайна сметка ще бъде преодоляна чрез параметрите на играта. Важно е да запомните, че закона за големите числа се прилага само (както показва името), когато голям брой наблюдения са взети под внимание. Не е принцип, че малък брой наблюдения ще клонят към очакваната стойност, или че серия от една стойност, веднага ще бъде "балансирана" от другите.

Вижте още

Източници

  • Grimmett, G. R. and Stirzaker, D. R. (1992). Probability and Random Processes, 2nd Edition. Clarendon Press, Oxford.
  • Richard Durrett (1995). Probability: Theory and Examples, 2nd Edition. Duxbury Press. 
  • Martin Jacobsen (1992). Videregående Sandsynlighedsregning (Advanced Probability Theory) 3rd Edition. HCØ-tryk, Copenhagen.
  • Loève, Michel (1977). Probability theory 1 (4th ed.). Springer Verlag. 
  • Newey, Whitney K.; McFadden, Daniel (1994). Large sample estimation and hypothesis testing. Handbook of econometrics, vol.IV, Ch.36. Elsevier Science. pp. 2111–2245. 
  • Ross, Sheldon (2009). A first course in probability (8th ed.). Prentice Hall press.
  • Sen, P. K; Singer, J. M. (1993). Large sample methods in statistics. Chapman & Hall, Inc.

Външни препратки