Видове фрактали

от Администрация и управление
Направо към: навигация, търсене
Естествен природен фрактал - паунова опашка

Фракталите са геометрични и алгебрични.

Геометрични

Геометричните фрактали са известни още с името детерминирани фрактали. Наричат ги още класически или линейни фрактали. Самоподобието е проявява на всички нива (мащаби).

Детерминираните фрактали се образуват в процеса итерация.

Тези фрактали са лесни за построяване. В двумерния случай се получават с помощта на някаква начупена линия (или повърхност в тримерния случай), наречена генератор. За всяка стъпка от алгоритъма всяка от отсечките, съставящи начупената линия, се заменя с генератора, в съответния мащаб. В резултат на безкрайни повторения (итерации) на тази процедура, се получава геометрическия фрактал.

Известни геометрични фрактали:

Алгебрични

Най-голямата група фрактали. Получават ги с помощта на нелинейни процеси в n-мерни пространства. Има няколко понятия, които са свързани с тези процеси: фазов портрет, атрактор и т.н.

Известно е, че нелинейните динамични системи имат няколко устойчиви състояния. Състоянието, в което се оказва динамичната система след някакво количество итерации, зависи от нейното начално състояние. Затова всяко устойчиво състояние (или атрактор) има някаква област от начални състояния, от които системата обезателно попада в разглежданите крайни състояния. По такъв начин фазовото пространство на системата се разбива на области на притегляне на атракторите. Ако фазово е двумерното пространство, то се оцветява областта на притегляне с различни цветове, може да се получи цветен фазов портрет на тази система (на итерациония процес). Изменяйки алгоритъма на избора на цвета, може да се получат сложни фрактални картини - причудливи и многоцветни. Неочаквана за математиците се появила възможността с помощта на примитивни алгоритми да се пораждат много сложни структури.

Детерминираните фрактали са линейни, но сложните фрактали са нелинейни. Тези фрактали се генеририра с това, което Манделброт наричал нелинейни алгебрични уравнения. Добър пример е процеса: zn+1 = zn2 + zo, което е уравнение, използвано за построяване на множеството на Манделброт и Жулия от втора степен. Може да се види, че, избирайки zo в някаква област и пускайки итерациите, няма да получим неограничено големи значения zn и оставаме в границите на определена област. Стартирайки от точка извън тази област, неизбежно се устремяваме към безкрайност. Когато уравнението се интерпретира графически на комплексна плоскост, резултатът се оказва странна фигура, в която правите линии преминават в криви, появяват се, макар и не без деформации, ефекти на самоподобие на различни мащабни нива.

Повечето фрактали, които виждаме сега са красиво оцветени. Фракталните изображения са получили такова голямо естетическо значение именно благодарение на своите цветови схеми. След като уравнение е пресметнато, компютъра анализира резултатите. Ако резултататите остават стабилни, или се колебаят около определено значение, точката обикновено приема черен цвят. Ако значението на една или друга стъпка се стреми към безкрайността, точката се оцветява в друг цвят, може би в син или червен. По време на този процес, компютъра определя цвета за всички скорости на движение.

Обикновено, най-бързо движещите се точки се оцветяват в червен цвят, по-бавните в жълто и т.н. Тъмните точки, вероятно, са най-стабилните.

Сложните фрактали изглеждат безкрайно сложни в сравнение с детерминираните, но могат да бъдат генерирани с много проста формула. За детерминираните фрактали не са нужни формули или уравнения. Всеки може да начертае решетката на Серпински до 3 или 4 итерация без никакви затруднения.

Известни алгебрични фрактали:

Фрактали

Вижте още

Източници

  • Lenny Smith - Chaos: A Very Short Introduction (Very Short Introductions)
  • Uri Merry - Coping with Uncertainty: Insights from the New Sciences of Chaos, Self-Organization, and Complexity
  • Stephen H. Kellert - In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems (Science and Its Conceptual Foundations series)
  • Heinz-Otto Peitgen - Chaos and Fractals: New Frontiers of Science
  • Stephen H. Kellert - Borrowed Knowledge: Chaos Theory and the Challenge of Learning across Disciplines
  • Benoit B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature
  • Mandelbrot, "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension", 1967
  • Yurij Baryshev, Pekka Teerikorpi, Benoit B. Mandelbrot, Discovery of Cosmic Fractals

Външни препратки