Вероятностно разпределение

от Администрация и управление
Направо към: навигация, търсене

Вероятностното разпределение се определя като пълното описание на всички възможни стойности, които приема дадена случайна променлива и свързаните с тях вероятности. Това е възможността за случване на даден изход, а не на друг.

Същност

Предварителната оценка на ползи и разходи, които произтичат от дадено регулиране, не може да е напълно сигурна. Тя съдържа в себе си несигурността за бъдещето. Понякога е възможно предварително да различим възможните развития на бъдещето. Някои възможни развития изглеждат по-вероятни от други, което е част от нашето очакване и то такова, което може да бъде околичествено. Това наричаме риск – вероятността от случването на различни изходи, които са предварително известни. В тези случаи оценката на разходите и ползите изисква изследване на тяхното вероятностно разпределение, т.е. възможността за случване на даден изход, а не на друг. В случаите, когато не са налице необходимите данни от миналото, е трудно да се определи каква е вероятността (възможността) от настъпване на определено събитие. В тези случаи е възможно да се използват отделни примери и симулации при задаване на различни условия, като по този начин се определи диапазона от възможностите за случването на това събитие. Следващата стъпка е да се анализира разпределението на данните в този диапазон, тоест дали и доколко са концентрирани в даден участък. В повечето случаи в крайна сметка се избират няколко сценария (примерно три), които отразяват отделни точки от вероятностното разпределение. Обикновено се наричат оптимистичен, реалистичен и песимистичен сценарии. Оценката на приходите и разходите се прави и по трите сценария, като по този начин се получават три варианта на възможни ползи и разходи.

Пример

Графично разпределение на възможните суми

Да разгледаме следния експеримент. Хвърляме две правилни зарчета и отбелязваме сумата от точките, които се падат. Можем да получим 11 различни числа: от 2 до 12. Да построим таблица, в която ще отбележим всички възможности и вероятностите, свързани с появата на всяка една от тях. Първо ще отбележим, че всички възможни изходи от този експеримент са точно 36. Сума от 2 точки може да се падне само ако и двете зарчета показват 1, т.е. ще имаме един благоприятен случай. Неговата вероятност ще е 1/36. Сумата от 3 точки може да се появи в два от 36-те случая: едното зарче показва 1, а другото 2 или обратно. Вероятността ще е 2/36 или 1/18 и т.н. както е дадено в таблицата. Последната колона в таблицата показва как се разпределят вероятностите за всяка една сума. Може да разглеждаме сумата от точките като една променлива случайна величина, която може да приема стойности от известно множество. В нашия случай това ще е множеството на всички цели числа от 2 до 12. При това всяка една стойност от това множество е свързана с определена вероятност.


Знанието на всички вероятности за появата на всички възможни стойности на случайната променлива задава нейното вероятностно разпределение. Очевидно сумата от вероятностите за всички възможни стойности на една случайна променлива е по по-горното определение. Обикновено изводите за параметри на популацията се извършват въз основа на формален модел за дадена ситуация.

Veroqtnostno razpredelenie2.jpg

Този модел съдържа информация за възможните изходи, свързани със ситуацията и предположения относно вероятностите за появата на един или друг изход. Моделът, съдържащ пълното описание на всички възможни изходи и свързаните с тях вероятности се нарича вероятностно разпределение.

Формално: случайна променлива е такава величина, която може да приеме всяка една стойност от определено множества с определена вероятност. Вероятностното разпределение (или разпределението на вероятностите) на случайната променлива е таблица, графика или математически израз, който дава вероятностите, с които случайната променлива може да приема всяка една от различните стойности. В зависимост от това дали случайната променлива е дискретна или непрекъсната, разпределението на нейните вероятности може да бъде съответно дискретно или непрекъснато.

Веднъж зададено вероятностното разпределение позволява да се определи вероятността за поява на всяка комбинация от възможни изходи. Например, нека при хвърляне на две зарчета искаме да знаем каква е вероятността да получим 3 или по-малко от 3 точки или да получим 10 или повече точки. От Таблица 1 се вижда, че тази вероятност е сума от няколко вероятности, които са известни:

Veroqtnostno razpredelenie3.jpg

Случайната променлива, която може да приема стойности от едно изброимо множество, крайно или безкрайно, се нарича дискретна случайна величина. Ако случайната променлива приема стойности върху едно неизброимо множество, тя се нарича непрекъсната. На практика обикновено се работи с известен вероятностен модел, т.е. предполага се, че е известен аналитичният вид на вероятностното разпределение и сме в състояние да изчислим вероятността за появата на всяка стойност на случайната променлива. В Допълнение А се описват най-често срещаните дискретни и непрекъснати разпределения. Безспорен факт е, че най-често използваното разпределение е нормалното. По-подробно описание на това разпределение, както и на стандартното нормално разпределние е дадено в Допълнение А. Тук ще се спрем по-скоро на използването на това разпределние за изчисляване на нужните вероятности.

Приложение

  • За да се изчисляват доверителни интервали за параметрите и за изчисляване на критичните райони за проверка на хипотези.
  • Често е полезно да се определи разумното разпределение за модела на данните.
  • Статистическите интервали и проверката на хипотези, често се основават на конкретни разпределителни предположения. Преди провеждането на компютърни тестове, основаващи се на вероятностното разпределение, трябва да се провери дали е обосновано предположението за дадения набор от данни. В този случай, разпределението не е необходимо да бъде най-голямото разпространение на данните, достатъчен е адекватен модел, така че статистическите извадки да доведат до правилни решения и избор на подходящи методи.
  • Симулационни проучвания с произволни числа, получени от използването на специфични методи за вероятностно разпределение.

Вижте още

Източници

  • Ramsey, F.P. Truth and Probability, in The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays, by F.P. Ramsey. Harcourt Brace, Co, New York, 1931.
  • Savage, L.J. The Foundations of Statistics. Wiley, New York, 1954.
  • Von Newman, J., O. Morgenstern. Theory of Games and Economic Behavior. University Press, New Jersey, 1944.
  • Wald, A. Statistical Decision Functions. Wiley, New York, 1950. Fan, Jianqing (1991). "On the optimal rates of convergence for nonparametric deconvolution problems". The Annals of Statistics 19 (3):
  • Gavss, Carolo Friderico (1809) (in Latin). Theoria motvs corporvm coelestivm in sectionibvs conicis Solem ambientivm [Theory of the motion of the heavenly bodies moving about the Sun in conic sections] .
  • Gould, Stephen Jay (1981). The mismeasure of man (first ed.)
  • Halperin, Max; Hartley, HO; Hoel, PG (1965). "Recommended standards for statistical symbols and notation. COPSS committee on symbols and notation" . The American Statistician
  • Hart, John F.; et al (1968). Computer approximations . New York: John Wiley & Sons, Inc.
  • Herrnstein, C. ; Murray (1994). The bell curve : intelligence and class structure in American life . Free Press
  • Huxley, Julian S. (1932). Problems of relative growth . London.
  • Johnson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, Volume 1 .
  • Johnson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, Volume 2 .
  • Kruskal, William H.; Stigler, Stephen M. (1997). Normative terminology: 'normal' in statistics and elsewhere . Statistics and public policy, edited by Bruce D. Spencer. Oxford University Press. Patel, Jagdish K.; Read, Campbell B. (1996). Handbook of the normal distribution
  • Pearson, Karl (1905). "'Das Fehlergesetz und seine Verallgemeinerungen durch Fechner und Pearson'. A rejoinder".
  • Pearson, Karl (1920). "Notes on the history of correlation". Biometrika 13
  • Stigler, Stephen M. (1978). "Mathematical statistics in the early states". The Annals of Statistics

Външни препратки